Representasi Matematika

(oleh Tundung Memolo)

Salah satu tujuan pembelajaran matematika di sekolah adalah siswa mampu melakukan representasi dalam penyelesaian masalah. Dienes (dalam Suryadi :2008) berpandangan bahwa belajar matematika itu mencakup lima tahapan yaitu bermain bebas, generalisasi, representasi, simbolisasi, dan formalisasi. Pada tahap bermain bebas anak biasanya berinteraksi langsung dengan benda – benda kongkrit sebagai bagian dari aktivitas belajarnya. Pada tahap generalisasi anak sudah memiliki kemampuan untuk mengobservasi pola, keteraturan, dan sifat yang dimiliki bersama. Pada tahap representasi , anak memiliki kemampuan untuk melakukan proses berpikir dengan menggunakan representasi objek – objek tertentu dalam bentuk gambar atau turus. Tahap simbolisasi anak sudah memiliki kemampuan untuk menggunakan simbol – simbol matematika dalam proses berpikirnya. Sedangkan formalisasi , adalah suatu tahap di mana anak sudah memiliki kemampuan untuk memandang matematika sebagai suatu sistem yang terstruktur.

 

Penelitian (Barmby,2013) telah menujukkan pentingnya representasi baik bagi guru ataupun siswa dalam pengajaran dan pembelajaran matematika. Representasi secara umum menjadi bagian penting bagi pembelajaran matematika seorang guru dan siswa dalam memainkan penjelasan tentang ide – ide matematika.

““Skilled teachers have a repertoire of such representations available

for use when needed to elaborate their instruction in response to

student comments or questions or to provide alternative

explanations for students who were unable to follow the initial

instruction” (Brophy dalam Barmby,2013 )

 

Demikian pula, menurut Barmby (2013), representasi ekternal mendukung segala proses penjelasan ide matematika. Kemampuan siswa dalam menyusun beragam representasi merupakan aspek yang penting dalam pemahaman matematika. Representasi memungkinkan siswa menguhubungkan antara pengalaman nyata dengan konsep matematika. Pemaknaan dari representasi sangat mungkin berbeda antara seorang guru dengan beragam siswa. Oleh karenanya, jika representasi tersebut digunakan di dalam kelas, maka guru butuh mendukung dan memfasislitasi siswa dalam menafsirkan atau memaknai representasi agar seperti yang diharapkan. Penelitian Sowell dan Gersten (dalam Barmby,2012) menunjukkan efektivitas representasi eksternal dalam pembelajaran di ruangan kelas.

 

Kalathil (2000) menyebutkan bahwa representasi memberikan keuntungan bagi siswa dalam belajar, konstruksi mental dapat dimanipulasi sehingga bisa digunakan sebagai informasi yang dapat dibagi, serta menambah perhatian siswa dalam proses berpikir.

Selain itu, representasi (dalam Debrenti, 2015) berkontribusi di dalam menambah ingatan dan pemahaman terhadap suatu masalah. Kalimat yang menggambarkan efektifitas pembelajar dalam penyelesaian masalah sebagaimana disebutkan Goldman (dalam Jitendra, 2002): “to create a representation that mediates solution”. Guler (2011) menyebutkan pentingnya representasi matematika diantaranya :

a.       representasi memperkuat metode pembelajaran dan menambah keberhasilan mendapatkan informasi dari berbagai sumber referensi;

b.       menjadi pertimbangan dalam efisiensi proses pembelajaran terutama dalam penyelesaian masalah

c.       memberikan panduan yang signifikan dalam pemahaman masalah, pemandu dalam metode pemecahan masalah dan memberikan pengaruh mental dalam keteraturan penyelesaian masalah.

 

Begitu pentingnya representasi yang dilkukan oleh guru di ruangan kelas untuk mewujudkan tujuan pembelajaran matematika, maka rumusalan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menghubungkan ide dan pengalaman nyata dengan representasi matematika. 

 

Menurut Bayazit (2011) representasi secara tradisional dipahami sebagai sesuatu yang berdiri pada sesuatu yang lain. Seperti halnya pada simbol yang memainkan peran penting dalam pengajaran dan pembelajaran matematika. Representasi memungkinkan komunikasi gagasan matematika kepada peserta didik secara koheren dan konsisten dan memberikan bahasa umum yang digunakan oleh anggota komunitas belajar-mengajar untuk mengekspresikan pemikiran mereka, berbagi gagasan mereka dengan yang lain, dan untuk mencerminkan secara kolektif mengenai gagasan matematika. Oleh karena itu, representasi dapat mengurangi beban kognitif pada pikiran manusia dan meningkatkan kapasitasnya untuk mencapai dan melestarikan sebagian besar informasi dalam ruang yang relatif kecil.

 

Selain peran dalam menyimpan ide matematika (dalam Bayazit, 2011), representasi memberi bantuan kepada individu dalam pemikiran mereka. Misalnya, gambaran sebuah lingkaran tidak hanya menyimpan beberapa aspek lingkaran (jari – jari, diameter, tali busur, dll) , namun juga digunakan sebagai alat kognitif untuk memikirkan tentang esensi dan sifat – sifat dari sebuah konsep. Oleh karena itu, gambaran dari sebuah ide matematika tidak dapat dipisahkan dari konsep itu sendiri; dan itu harus dianggap sebagai bagian penting dari pemikiran.

 

Dalam literatur, menurut Bayazit (2011) representasi dibagi menjadi dua kategori utama: representasi eksternal dan representasi internal. Representasi eksternal mengacu pada konstruksi fisik (mis., aljabar, grafik, atau diagram yang ditulis atau sketsa yang ditampilkan di atas kertas) yang digunakan guru untuk menggambarkan gagasan matematika kepada para siswa. Mereka diucapkan, ditulis atau semacam entitas yang terlihat. Misalnya, kurva pada kertas akan menjadi representasi fungsi bagi seseorang. Representasi internal adalah konstruksi mental yang dikembangkan individu melalui interaksi dan refleksi mereka terhadap representasi eksternal. Mereka adalah produk dari pikiran manusia. Dengan demikian representasi internal individu dari konsep matematika bisa berbeda dari yang lainnya.

 

Dari pemaparan di atas, representasi matematika merupakan perwujudan sebuah ide dari pengalaman nyata yang dapat disajikan dalam bentuk sketsa, grafik, diagram, tabel, gambar, ataupun pemodelan yang dapat dinterpretasikan sejalan dengan konsep.

 

Lebih jelasnya hubungan antara representasi dengan ide matematika yang dikaitkan dengan pengalaman nyata di sajikan dalam gambar berikut :

Gambar 1. Koneksi antara representasi dengan ide matematika

 

Masalah matematika yang didapatkan dari pengalaman nyata dapat menjadi ide matematika yang digambarkan dalam dimensi eksternal representasi. Selanjutnya kontruksi mental terkait pengolahan informasi yang didapatkan dari ekternal representasi akan menjadi internal representasi. Internal representasi dapat direfleksikan kembali ke dalam ide matematika dan pengalaman nyata apakah sesuai, cocok, ataukan perlu penyempurnaan. Representasi dapat dilakukan dengan membuat sketsa, grafik, diagram, tabel, gambar (picture) ataupun pemodelan yang lain.

 

Kalathil (2000) menyebutkan bahwa representasi dapat terwujud dengan dua jalan, yaitu guru membantu siswa menuangkan ide – idenya dan menjadikan representasi sebagai objek dalam diskusi.

 

Perhatikan contoh 1 berikut :

Panjang tol Bogor – Jakarta 60 km. Pada pukul 12.00 mobil A berangkat dari pintu tol Bogor menuju Jakarta dengan kecepatan rata – rata 80 km/jam. Pada saat yang sama mobil B berangkat dari pintu tol Jakarta menuju Bogor dengan kecepatan rata – rata 70 km/jam. Kedua mobil tersebut akan berpapasan pada pukul ...

Permasalahan matematika di atas yang berangkat dari permasalahan nyata dapat dipadukan dengan ide matematika yaitu jarak, kecepatan, dan waktu. Ide matematika tersebut tidak dapat ditangkap dengan baik oleh ingatan, tanpa menggunakan representasi.

 

Salah satu bentuk representasi disajikan berikut :

Gambar 2. Representasi Sketsa

Membuat sketsa dapat dengan mudah diinterpretasikan untuk menemukan solusi, semisal ; Sa menyatakan jarak tempuh mobil A sampai berpapasan dengan mobil B, Sb menyatakan jarak tempuh mobil B sampai berpapasan dengan mobil A, Va menyatakan kecepatan mobil A dan Vb menyatakan kecepatan mobil B. Dengan perhitungan sederhana dapat ditemukan bahwa mereka berpapasan pada pukul 12.24.

 

Perhatikan contoh 2 berikut :

Suatu garis lurus memotong sumbu X di titik A(a,0) dan memotong sumbu Y di titik B(0,b) dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika luas segitiga OAB adalah 12 satuan luas, maka banyaknya pasangan bilangan bulat a dan b yang mungkin adalah ...

Ide matematika yang didapatkan dari contoh 2 di atas adalah menghitung luas segitiga yang dihubungkan dengan pemfaktoran bilangan tertentu. Pengalaman nyata penghitungan luas segitiga dihitung dengan ½ x alas x tinggi dan pemfaktoran suatu bilangan tidaklah sulit. Namun ketika kedua ide tersebut dihubungkan, maka bukan hal yang mudah untuk menyelesaikannya. Penggunaan representasi berupa grafik diperlukan seperti di bawah ini :

Gambar 3. Representasi Grafik

 

Interpretasi dari grafik di atas menjelaskan bahwa segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku – siku dengan panjang alas = a dan tinggi =b. Luas yang terbentuk adalah L = ½ ab. Dengan memperhatikan formula luas, maka bahwa a dan b adalah faktor dari 24 yaitu :1,2,3,4,6,8,12,24 karena itu banyak pasangan yang mungkin adalah 8 pasang.

 

Perhatikan contoh 3 berikut :

Dari sebuah kelas yang berjumlah 30 siswa, diketahui 17 siswa gemar karate, 11 siswa gemar renang, 5 siswa gemar karate dan renang. Banyaknya siswa yang tidak gemar karate maupun renang adalah ....

Ide matematika berupa masalah yang berkaitan dengan himpunan yang didapatkan dari pengalaman nyata. Representasi diagram venn dapat dituliskan seperti di bawah ini :

Gambar 4. Representasi Diagram

Interpretasi (bentuk representasi eksternal) dari diagram di atas adalah jika K menyatakan banyaknya siswa yang gemar karate dan R menyatakan banyaknya siswa yang gemar renang. Maka dapat dicari solusi permalahan di atas.

 

Perhatikan contoh 4 berikut :

Salah satu penyelesaian dari x1+x2+x3+x4=7. Jika semesta pada persamaan ini adalah himpunan semua bilangan bulat tidak negatif, banyaknya penyelesaian yang mungkin dari x1+x2+x3+x4=7 adalah ...

Ide matematika yang dapat dijelaskan dari permasalahan di atas adalah mencari semua bulangan bulat tidak negatif yang bila dijumlahkan sebanyak 4 kali akan diperoleh 7, semisal 2 + 0 + 4 + 1. Yang jadi masalah adalah bilangan yang dijumlahkan bisa sama, maka di sini dapat dibentuk permutasi n suku dengan a yang sama. Nilai a menyatakan unsur bilangan penyusun.

 

Representasi dapat dilakukan dengan membentuk tabel sebagai berikut :

Tabel 1. Representasi Tabel

                                                             Gambar 5. Representasi Tabel

Interpretasi dari penyusunan permutasi membutuhkan ketelitian sehingga dengan melanjutkan isian tabel di atas, didapatkan banyak penyelesaian yang mungkin adalah 120 cara.

 

Perhatikan contoh 5 berikut :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika α adalah sudut antara CE dan bidang BDE, cos α = ….

Ide matematika yang bisa diambil adalah penggambaran bentuk dimensi 3 di atas dalam bidang datar, selanjutnya menarik garis dan membentuk bidang. Penggunaan representasi dapat membantu kemudahan penyelesaian masalah di atas. Representasinya dari persamasalahan di atas disajikan dalam gambar berikut :

Gambar 6. Representasi Gambar

 

Representasi internal dilakukan dengan menjelaskan manakah yang seharusnya diselesaikan terlebih dahulu dan formula apakah yang diperlukan untuk mengatasi permasalahan di atas.

 

Representasi pemodelan dapat dilakukan dalam bentuk benda 2 dimensi, 3 dimensi , ataupun menggunakan siswa model dalam proses pembelajaran semisal menghitung tinggi tiang bendera. Siswa model diukur tingginya beserta bayangannya dan mengukur tinggi bayangan tiang bendera. Pemodelan selain dalam bentuk kongkret dapat juga dilakukan dengan pengabstrakan semisal menghitung banyaknya diagonal bidang pada bangun ruang.

Demikianlah penjelasan tentang representasi matematika.

Referensi :

Barmby, Patrick, dkk.(2013). Developing the Use of Visual Representations in the

Primary Classroom. [online]. Tersedia : http://www.nuffieldfoundation.org/sites . Diakses 20 Juli 2017.

Bayazit, Ibrahim & Aksoy, Yilmaz.(2011).Connecting Representations and

Mathematical Ideas with Geogebra. [online]. Tersedia : https://ggijro.files.wordpress.com/2011/07/article-8.pdf . Diakses tanggal 15 Juli 2017.  

Debrenti, Edith.(2015). Visual Representation in Mathematics Teaching:An

Experiment With Students. Jurnal : Acta Didactica Napocensia.

Guler, Gursel. (2011). The Visual Representation Usage Levels of Mathematics

Teachers and Students in Solving Verbal Problems. Jurnal :International Journal of Humanities and Social Science (IJHSS).

Jitendra, Asha.(2002).Teaching Students Math Proble-Solving Through Graphic

Representation. [online]. Tersedia : www.webmail.teachingld.net/pdf/teaching_how-tos/journal_articles/  Diakses tanggal 20 Juli 2017.

Kalathil, R.R., & Sherin, M.G. (2000). Role of Students' Representations in the

Mathematics Classroom. In B. Fishman & S. O'Connor-Divelbiss (Eds.), Fourth International Conference of the Learning Sciences (pp. 27-28). Mahwah, NJ: Erlbaum.

Suryadi, Didi.(2008). Eksplorasi Matematika Pembelajaran Pemecahan Masalah.

Bekasi : Karya Duta Wahana.