Relasi, Pengenalan dan Penyajian Relasi

RELASI

1.       Pengertian Relasi

Relasi dari dua himpunan A dan B adalah hubungan antara dua himpunan A dan B, yang memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Contoh 1:

Diketahui dua himpunan P = {Thailand, Malaysia, Filipina, Brunei, Indonesia} dan Q = {Manila, Bandar Sri Begawan, Jakarta, Kualalumpur, Bangkok}. Antara himpunan P dan Q terdapat suatu hubungan, yaitu negara dengan ibu kotanya. Thailand beribukota di Bangkok, Malaysia beribukota di Kualalumpur, Filipina beribukota di Manila, Brunei beribukota di Bandar Sri Begawan dan Indonesia beribukota di Jakarta. Jadi relasi dari himpunan P ke himpunan Q adalah “P beribukota Q” atau  “beribukota di”.

Latihan 1

1.       Dari hasil wawancara terhadap empat orang siswa yaitu Ani, Ela, Siti dan Mila, diketahui bahwa:

-        Ani dan Ela senang minum teh.

-        Ani dan Siti senang minum susu.

-        Ani , Siti dan Mila senang minum kopi.

a.       Siapakah yang senang minum susu dan kopi?

b.       Siapakah yang senang minum teh dan susu?

c.       Siapakah siswa yang menyenangi satu jenis minuman saja?

2.       Ali dan Badu anak rajin. Dodi dan Badu kedua-duanya pandai sedangkan Ali dan Dodi anak-anak yang jujur.

a.       Siapakah yang rajin dan jujur?

b.       Adakah anak yang rajin dan pandai?

c.       Adakah anak yang jujur, rajin dan pandai?

3.       Pak Amir menerangkan bahwa Kandi ayah Mirna, Maman ayah Ali dan Parman ayah Irma. Jika A himpunan ayah dan B himpunan anak, tulislah A dan B!

4.       Tiga orang siswa ditanya kegemarannya, ternyata A gemar sepak bola, B gemar sepak bola dan tennis meja sedangkan C gemar bulu tangkis dan sepak bola.

a.       Tuliskan himpunan anak dan himpunan kegemaran.

b.       Berapa orang yang senang sepak bola?

5.       Jika diketahui himpunan A = {1, 4, 9, 16} dipasangkan dengan himpunan B dengan menggunakan relasi “pangkat dua dari”. Tentukan himpunan B.

 

2.       Menyatakan Relasi dengan Diagram Panah, Cartesius dan Himpunan Pasangan Berurutan

a.       Diagram Panah

Contoh 2

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 6}, gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari A ke B dengan hubungan: “lebih dari” dan “faktor dari”.

Jawab:

b.       Diagram Cartesius

Dari dua himpunan P dan Q diketahui bahwa:

P = {Veni, Wulan, Intan, Sari}

Q = {susu, soda, teh, air putih, kopi}.

 

Relasi dari dua himpunan tersebut, yang menunjukkan “gemar minum”, selain dapat dinyatakan dengan diagram panah, juga dapat ditunjukkan dengan diagram Cartesius pada gambar 3. Noktah-noktah (titik-titik tebal) pada diagram Cartesius tersebut, menyatakan hubungan kegemaran masing-masing anak itu.

c.       Himpunan Pasangan Berurutan

Misalkan diketahui himpunan A = {Bandung, Semarang, Surabaya} dan B = {Jabar, Jateng, Jatim}, sedangkan relasi dari A ke B adalah “ibukota” maka Bandung→Jabar dapat ditulis (Bandung, Jabar). Urutan penulisan tidak boleh dibalik misalnya (Jabar, Bandung) sebab tidak sesuai dengan pernyataan relasinya. (Bandung, Jabar), (Semarang, Jateng), (Surabaya, Jatim) disebut pasangan berurutan relasi “ibukota” dari A ke B.

Contoh 3                                                             

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {0, 1, 2, 4}

a.       gambarkan diagram panah yang menyatakan relasi dari A ke B dengan hubungan “kurang dari”!

b.       tuliskan himpunan pasangan berurutannya!

Jawab:          

a.       Gambar diagram panahnya

          

b.   Himpunan pasangan berurutannya adalah:

      {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.

Latihan 2

1.       Diketahui: A = {0, 1, 2, 3, 4} dan B = {0, 2, 4, 6, 8}.

1. Jika x Î A dan y Î B, tentukan  himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi x setengah y.
2. Gambarkan dengan diagram Cartesius relasi tersebut.

2.       Diketahui: P = {3, 5, 6, 8} dan Q = {2, 9, 10, 12, 16}.

a.       Tunjukkan dengan diagram panah relasi “faktor dari” dari P ke Q.

b.       Tunjukkan dengan diagram Caresius hubungan tersebut.

c.       Nyatakan hubungan tersebut dengan himpunan pasangan berurutan.

3.       Nyatakan hubungan yang mungkin dari himpunan pasangan berurutan berikut ini:

1. {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} 
2. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
3. {(1, 2), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}          
4. {(0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (5, 25)}
5. {(0, 0), (4, 2), (10, 5), (12, 6), (20, 10)}

4.       Suatu relasi dinyatakan dengan himpunan  pasangan berurutan:

{(–4, –3), (–3, –2), (–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, 2)}.

a.       Gambarkan diagram panah relasi itu!

b.       Gambarkan pula diagram Cartesiusnya!

c.       Menyatakan relasi apakah pasangan berurutan tersebut?