Daripada memberikan daftar topik matematika — beberapa di antaranya mungkin tidak cukup jelas — saya akan mencoba menjawab dengan cara yang dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah.
Kalkulus. Anda mempelajari alat untuk menjelajahi pertukaran dan akumulasi jumlah kecil. Contoh:
(trade-off) Anda memiliki 100 kaki kawat untuk memagari area persegi panjang. Apa dimensi persegi panjang yang memberi Anda luas paling banyak? Jika Anda memilih persegi panjang acak — katakanlah, 40 ft x 10 ft — Anda akan mendapatkan area acak — 400 sq. ft dalam kasus ini. Tetapi perhatikan bahwa 30 ft x 20 ft memberi Anda area yang lebih luas — 600 sq. ft Kalkulus memberi Anda cara untuk memahami trade-off secara sistematis, bukan dengan coba-coba.
(akumulasi jumlah kecil) Sebuah kawat tembaga lurus panjang memiliki kerapatan variabel. Kepadatan dijelaskan oleh beberapa fungsi f(x) , di mana x mewakili jarak dari salah satu ujung kawat. Berapa massa total kawat tersebut? Jika kawat itu bukan kawat, melainkan sesuatu seperti manik-manik dengan massa yang berbeda, jawabannya mudah: cukup tambahkan manik-maniknya (dengan asumsi massa tali dapat diabaikan.) Tetapi kawat kontinu adalah semacam tali yang tak terhingga. banyak manik-manik yang sangat kecil. Kalkulus memberi Anda alat untuk menjumlahkan massa itu juga.
2. Persamaan Diferensial. Anda belajar bagaimana menyeimbangkan tingkat perubahan yang saling bersaing atau berinteraksi. Misalnya, di sekolah menengah Anda mempelajari berapa lama waktu yang dibutuhkan sebuah bola untuk jatuh 100 kaki tanpa hambatan udara. Itu sederhana. Tetapi bagaimana jika kita berasumsi bahwa ada hambatan udara? Katakanlah, hambatan udara adalah gaya yang sebanding dengan kuadrat kecepatan benda? Lalu seberapa cepat waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh? Itu persamaan diferensial klasik.
3. Aljabar linier. Anda mungkin tahu tentang persamaan linier, seperti 3x+5=11. Anda mungkin tahu tentang sistem persamaan linier, seperti 3x+5y=11 , dan 5x+3y=13 . Anda mungkin tahu teknik untuk menyelesaikan ini yang benar-benar praktis dengan sejumlah kecil variabel… teknik seperti substitusi dan grafik. Tetapi ada teknik yang lebih mendasar yang memiliki penerapan yang lebih luas, seperti jika Anda memiliki 100 persamaan dalam 100 variabel. Anda belajar tentang semua hal ini dalam aljabar linier.
4. Analisis. Ternyata, Anda mungkin mengambil banyak kebebasan saat belajar kalkulus. Anda mungkin bahkan tidak menyadarinya. Misalnya, apa itu bilangan real? Bagaimana Anda tahu konsep bilangan real masuk akal sepenuhnya? (Mungkinkah ada dua cara yang tidak setara untuk menggambarkan hal-hal yang keduanya terlihat seperti bilangan real?) Analisis adalah peninjauan kembali kalkulus, dengan tingkat detail logis yang ekstrem ini. Pada tahap kurikulum ini, Anda berhenti melakukan perhitungan dan mulai melakukan pembuktian, setidaknya terutama.
5. Aljabar abstrak. Anda tahu bahwa bilangan bulat bisa ganjil atau genap. Anda mungkin tahu aturan, seperti ganjil + ganjil = genap, genap + genap = genap, ganjil + genap = ganjil, dll. Anda mungkin menyadari bahwa “ganjil” dan “genap” membentuk sistem aritmatika yang mandiri dan konsisten. , menurut aturan ini. Sistem mandiri ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari "struktur aljabar." Anda mungkin juga pernah mendengar tentang aritmatika modular… dan jika tidak, Anda mungkin menyadari bahwa Anda dapat melakukan aritmatika dengan jam dalam sehari dengan cara yang aneh. Jika Anda menambahkan 7 jam menjadi 9:00 malam, Anda tidak mendapatkan pukul 16:00… Anda mendapatkan 4:00 pagi. Atau jika Anda ingin menjaga waktu 24 jam, 7 jam ditambah 21:00 bukan 28:00, tapi 04:00. Anda "membungkus." Itu struktur aljabar lainnya.
Dalam aljabar abstrak, Anda mendefinisikan dan mempelajari struktur aljabar abstrak. Anda belajar contoh di sepanjang jalan. Meskipun kursus berfokus pada abstrak, sering kali ada aplikasi yang muncul di sepanjang jalan. Mungkin salah satu yang pertama adalah simetri: simetri benda apa pun membentuk jenis struktur aljabar tertentu. Terkadang, memahami karakteristik struktur aljabar dari simetri suatu objek dapat membantu Anda memahami objek yang mendasarinya.
6. Topologi. Kembali dalam analisis, Anda menggunakan konsep jarak dengan sangat berat. Anda secara intuitif melihat fenomena seperti fungsi "baik, berperilaku baik" yang tidak terlalu mengubah jarak antara titik yang sangat dekat. Dalam topologi, Anda menjadi sedikit lebih abstrak: Anda menyimpan gagasan tentang apa artinya poin - dalam beberapa hal - menjadi "dekat", tetapi Anda menyingkirkan gagasan tentang jarak. Kemudian Anda mengeksplorasi banyak pertanyaan yang sama yang Anda lakukan dalam analisis.
7. Geometri. Apa itu lingkaran? Anda mungkin mendapatkan gambaran dalam pikiran Anda, tetapi Anda mungkin tidak menyadari bahwa Anda memiliki dua gambar: Anda memvisualisasikan lingkaran yang hidup di dalam pesawat. Dapatkah Anda memikirkan sebuah lingkaran, tanpa memikirkan bidang apa pun yang memuatnya? Lingkaran "intrinsik", bisa dibilang? Ada alasan untuk melakukan ini, meskipun mungkin tidak jelas apa itu. Tetapi Anda dapat mengembangkan geometri dari sudut pandang "intrinsik" ini, dan itu sangat berharga. Anda menjelajahi hal-hal seperti kelengkungan, batas, koordinat, bagaimana melakukan kalkulus pada bentuk melengkung, dll. Kemudian setelah Anda memahaminya, Anda dapat kembali ke hal "lingkaran di dalam bidang", dan mempelajari apa yang disebut "penyematan" dari satu bentuk di dalam yang lain, dan bicarakan hal-hal menarik seperti persimpangan seperti apa yang bisa Anda dapatkan.
Ada banyak topik lain, tentu saja: matematika diskrit (ringkasan: menghitung lebih sulit daripada kelihatannya); probabilitas (ringkasan: probabilitas adalah apa yang Anda pikirkan); analisis numerik (ringkasan: bagaimana benar-benar menerapkan semua omong kosong abstrak mewah lainnya dengan cara yang efisien dan praktis), dan hal-hal lain. Tetapi area yang saya jelaskan di atas membentuk inti dari sebagian besar kurikulum matematika.
Posts
0 comments:
Post a Comment